Question

9．设f₀（x）=|x|-10，f_n（x）=|f_n-1（x）|-1（n∈N^*），则函数y=f₂₀（x）的零点个数为（　　）

• A． 19
• B． 20
• C． 31
• D． 22

Answer 1

分析 令f_n（x）=|f_n-1（x）|-1=0，则|f_n-1（x）|=1，问题转化为方程|f_n-1（x）|=1的根的个数，找出规律：当0≤n≤9时y=f_n（x）=0时的解的个数为2（n+1）=2n+2个、当n≥10时y=f_n（x）=0时的解的个数为21+（n-10）=11+n个，进而可得结论．

解答 解：依题意，令f₀（x）=0，则|x|-10=0，
∴x有2个解±10；
当f₁（x）=0时，即|f₀（x）|-1=0，
∴|x|-10=±1，即x有4个解：±9、±11；
当f₂（x）=0时，即|f₁（x）|-1=0，
∴|f₀（x）|-1=±1，即|x|-10=0、±2，
∴x有6个解：±8、±10、±12；
…
当f₉（x）=0时，x有20个解：±1、±3、±5、±7、±9、±11、±13、±15、±17、±19；
当f₁₀（x）=0时，x有21个解：0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20；
当f₁₁（x）=0时，x有22个解：±1、±3、±5、±7、±9、±11、±13、±15、±17、±19、±21；
当f₁₂（x）=0时，x有23个解：0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20、±22；
∴当0≤n≤9时，y=f_n（x）=0时的解的个数为2（n+1）=2n+2个，
当n≥10时，y=f_n（x）=0时的解的个数为21+（n-10）=11+n个，
∴函数y=f₂₀（x）的零点个数为11+20=31个．


附：
y=f₂₀（x）=0，
即f₂₀（x）=|f₁₉（x）|-1=0，
即f₁₉（x）=|f₁₈（x）|-1=±1，
即f₁₈（x）=|f₁₇（x）|-1=0、2，
即f₁₇（x）=|f₁₆（x）|-1=±1、3，
即f₁₆（x）=|f₁₅（x）|-1=0、2、4，
即f₁₅（x）=|f₁₄（x）|-1=±1、3、5，
即f₁₄（x）=|f₁₃（x）|-1=0、2、4、6，
即f₁₃（x）=|f₁₂（x）|-1=±1、3、5、7，
即f₁₂（x）=|f₁₁（x）|-1=0、2、4、6、8，
即f₁₁（x）=|f₁₀（x）|-1=±1、3、5、7、9，
即f₁₀（x）=|f₉（x）|-1=0、2、4、6、8、10，
即f₉（x）=|f₈（x）|-1=±1、3、5、7、9、11，
即f₈（x）=|f₇（x）|-1=0、2、4、6、8、10、12，
即f₇（x）=|f₆（x）|-1=±1、3、5、7、9、11、13，
即f₆（x）=|f₅（x）|-1=0、2、4、6、8、10、12、14，
即f₅（x）=|f₄（x）|-1=±1、3、5、7、9、11、13、15，
即f₄（x）=|f₃（x）|-1=0、2、4、6、8、10、12、14、16，
即f₃（x）=|f₂（x）|-1=±1、3、5、7、9、11、13、15、17，
即f₂（x）=|f₁（x）|-1=0、2、4、6、8、10、12、14、16、18，
即f₁（x）=|f₀（x）|-1=±1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，
即f₀（x）=|x|-10=0、±2、±4、±6、±8、±10、12、14、16、18、20，
解得：x=0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20、±22、±24、±26、±28、±30，
∴函数y=f₂₀（x）的零点个数为31个，
故选：C．

点评 本题考查求函数零点的个数，注意条件中的递推关系，属于中档题．