Question

17．如图，四面体 ABCD的一条棱长为 x，其余棱长均为 1，记四面体 ABCD的体积为F（x），则函数F（x）的单调增区间是$（0，\frac{\sqrt{6}}{2}]$，；最大值为$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．取AD的中点O，连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC．取BC的中点E，连接OE，则OE⊥BC，可得OE，可得F（x）=$\frac{1}{3}S△OBC•AD$=$\frac{x\sqrt{3-{x}^{2}}}{12}$（0＜x＜$\sqrt{3}$）．利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：如图所示，设BC=x，AB=AC=AD=CD=BD=1．
取AD的中点O，
连接OB，OC，则OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又OB∩OC=O，则AD⊥平面OBC，
取BC的中点E，连接OE，则OE⊥BC，
OE=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-（\frac{x}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3-{x}^{2}}}{2}$．
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}BC•OE$=$\frac{x\sqrt{3-{x}^{2}}}{4}$．
∴F（x）=$\frac{1}{3}S△OBC•AD$
=$\frac{1}{3}×$$\frac{x\sqrt{3-{x}^{2}}}{4}$×1
=$\frac{x\sqrt{3-{x}^{2}}}{12}$（0＜x＜$\sqrt{3}$）．
F′（x）=$\frac{3-2{x}^{2}}{12\sqrt{3-{x}^{2}}}$，
令F′（x）≥0，解得$0＜x≤\frac{\sqrt{6}}{2}$，此时函数F（x）单调递增；令F′（x）＜0，解得$\frac{\sqrt{6}}{2}＜x＜\sqrt{3}$，此时函数F（x）单调递减法．
因此当x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，F（x）取得最大值，$F（\frac{\sqrt{6}}{2}）$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}×\sqrt{3-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}}{12}$=$\frac{1}{8}$．
故答案分别为：$（0，\frac{\sqrt{6}}{2}]$，$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三棱锥的体积计算公式、线面垂直的判定定理、勾股定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．