Question

8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，且满足T_n=2S_n-λn²（n∈N^*，λ为常数）
（1）若a₁+1，a₂，a₃-2成等比数列，求λ的值．
（2）当λ=1时，求数列{a_n}的通项公式；
（3）对于（2），设b_n=$\frac{1}{3}$n（2+a_n）（n∈N^*），数列{$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和为R_n，问是否存在正实数t，使得对任意的正整数n，不等式$\frac{4-{R}_{n}}{4-{R}_{n+1}}$＜tn都成立？若存在，求出t的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由T_n=2S_n-λn²（n∈N^*，λ为常数），分别取n=1，2，3可得：a₁=λ．a₂=4λ，a₃=10λ，由a₁+1，a₂，a₃-2成等比数列，可得${a}_{2}^{2}$=（a₁+1）（a₃-2），代入即可解出λ．
（2）当λ=1时，T_n=2S_n-n²（n∈N^*），a₁=1，a₂=4．当n≥2时，利用递推式可得：S_n=2S_n-1+2n-1．再一次利用递推式可得：a_n+1=2a_n+2，变形为a_n+1+2=2（a_n+2），利用等比数列的通项公式即可得出．
（3）b_n=$\frac{1}{3}$n（2+a_n）=2^n-1，可得$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．利用等比数列的前n项和公式可得：数列{$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和为R_n=$4-\frac{4}{{2}^{n}}$，假设存在正实数n，使得对任意的正整数n，不等式$\frac{4-{R}_{n}}{4-{R}_{n+1}}$＜tn都成立，化为$t＞\frac{2}{n}$，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵T_n=2S_n-λn²（n∈N^*，λ为常数），
∴a₁=2a₁-λ，2a₁+a₂=2（a₁+a₂）-4λ，3a₁+2a₂+a₃=2（a₁+a₂+a₃）-9λ，
解得a₁=λ．a₂=4λ，a₃=10λ，
∵a₁+1，a₂，a₃-2成等比数列，∴${a}_{2}^{2}$=（a₁+1）（a₃-2），
∴（4λ）²=（λ+1）（10λ-2），
化为3λ²-4λ+1=0，
解得λ=1或λ=$\frac{1}{3}$．
（2）当λ=1时，T_n=2S_n-n²（n∈N^*），a₁=1，a₂=4．
∴当n≥2时，${T}_{n-1}=2{S}_{n-1}-（n-1）^{2}$，
S_n=$2{S}_{n}-{n}^{2}-[2{S}_{n-1}-（n-1）^{2}]$，
∴S_n=2S_n-1+2n-1．
S_n+1=2S_n+2（n+1）-1，
∴a_n+1=2a_n+2，
变形为a_n+1+2=2（a_n+2），
由于a₁+2=3，a₂+2=6，∴a₂+2=2（a₁+2）．
∴数列{a_n+2}是等比数列，首项为3，公比为2，
∴${a}_{n}+2=3×{2}^{n-1}$，
∴${a}_{n}=3×{2}^{n-1}$-2．
（3）b_n=$\frac{1}{3}$n（2+a_n）=2^n-1，
∴$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n-1}•{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．
∴数列{$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和为R_n=$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$4-\frac{4}{{2}^{n}}$，
假设存在正实数t，使得对任意的正整数n，不等式$\frac{4-{R}_{n}}{4-{R}_{n+1}}$＜tn都成立，
则$\frac{\frac{4}{{2}^{n}}}{\frac{4}{{2}^{n+1}}}$=2＜tn，∴$t＞\frac{2}{n}$，
由于数列$\{\frac{2}{n}\}$单调递减，
∴$t＞\frac{2}{1}$=2，
因此满足条件的t存在，且t的取值范围是（2，+∞）．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．