Question

11．设a∈R，函数f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）．
（1）若|a|≤1，试证：|f（x）|≤$\frac{5}{4}$；
（2）若函数f（x）的最大值为$\frac{17}{8}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，f（x）=x（|x|≤1）．此时：|f（x）|的最大值为1，满足条件；当a≠0时，f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）的图象在x=$-\frac{1}{2a}$时，取最值$\frac{-4{a}^{2}-1}{4a}$，分析|f（-1）|，|f（1）|，|f（$-\frac{1}{2a}$）|的值，可得结论；
（2）当a=0时，f（x）=x（|x|≤1）．此时：|f（x）|的最大值为1，不满足条件；当a≠0时，分类讨论f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）的最值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 证明：（1）|a|≤1，
当a=0时，f（x）=x（|x|≤1）．
此时：|f（x）|≤$\frac{5}{4}$显然成立；
当a≠0时，f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）的图象在x=$-\frac{1}{2a}$时，取最值$\frac{-4{a}^{2}-1}{4a}$，
∵|f（-1）|=|f（1）|=1≤$\frac{5}{4}$，
若|a|≥$\frac{1}{2}$时，|$-\frac{1}{2a}$|≤1，
此时|f（$-\frac{1}{2a}$）|=|$\frac{-4{a}^{2}-1}{4a}$|=|a|+|$\frac{1}{4a}$|，当|a|=1时，|a|+|$\frac{1}{4a}$|取最大值$\frac{5}{4}$，
综上若|a|≤1，|f（x）|≤$\frac{5}{4}$；
（2）当a=0时，f（x）=x（|x|≤1）．
此时函数f（x）的最大值为1，不满足条件；
当a＞0时，函数f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）在x=1时，取最大值1，不满足条件；
当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，函数f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）在x=1时，取最大值1，不满足条件；
当a$≤-\frac{1}{2}$时，函数f（x）=ax²+x-a（|x|≤1）在x=$-\frac{a}{2}$时，取最大值$\frac{-4{a}^{2}-1}{4a}$=$\frac{17}{8}$，
解得：a=$-\frac{1}{8}$（舍去），或a=-2，
综上a=-2

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．