Question

19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象上在y轴右边的第一个最高点A的坐标为（$\frac{π}{12}$，3），和A点相邻的一个对称中心B点的坐标为（$\frac{π}{3}$，0）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，π]上的单增区间．

Answer 1

分析 （1）直接由题意求出A，及T，得到ω，代入点的坐标求得φ，则函数解析式可求；
（2）利用复合函数的单调性求出f（x）的增区间，与[0，π]取交集得答案．

解答 解：（1）由题意可知，A=3，$\frac{T}{4}=\frac{π}{3}-\frac{π}{12}=\frac{π}{4}$，T=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$，
∴f（x）=3sin（2x+φ），
由$f（\frac{π}{12}）=3sin（2×\frac{π}{12}+φ）=3$，得$sin（\frac{π}{6}+φ）=1$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$．
∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得：$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$，
取k=0，得$-\frac{5π}{12}≤x≤\frac{π}{3}$；
取k=1，得$\frac{7π}{12}≤x≤\frac{4π}{3}$．
∴f（x）在[0，π]上的单增区间为$[0，\frac{π}{3}]，[\frac{7π}{12}，π]$．

点评 本题考查了由f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，考查了与三角函数有关的复合函数的单调性的求法，是中档题．