Question

16．设A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，…，n}，在A中取三个数，B中取两个数组成五个元素的集合A_i，i=1，2，…，20，若|A_i∩A_j|≤2，1≤j＜i≤20，求n的最小值．

Answer 1

分析 根据条件|A_i∩A_j|≤2，1≤j＜i≤20，分别对集合元素进行讨论即可．

解答 解：设B中每个数在所有A_i中最多重复出现k次，则必有k≤4．
若不然，数m出现k次（k＞4），
则3k＞12在m出现的所有A_i中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，a₁，a₂，m，b₁}，{1，a₃，a₄，m，b₂}，{1，a₅，a₆，m，b₃}，
其中a_i，∈A，1≤i≤6为满足题意的集合．a_i必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以k≤4．
20个A_i中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以n≥16，
当n=16时，如下20个集合满足要求：
{1，2，3，7，8}，{1，2，4，12，14}，{1，2，5，15，16}，{1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}，{1，3，5，13，14}，{1，3，6，12，15}，{1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}，{1，5，6，8，11}，{2，3，4，13，15}，{2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}，{2，4，5，8，10}，{2，4，6，7，11}，{2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}，{3，4，6，8，9}，{3，5，6，7，10}，{4，5，6，14，15}．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．综合性较强，难度较大．