Question

5．已知矩阵$A=[{\begin{array}{l}0&1\\ a&0\end{array}}]$，矩阵$B=[{\begin{array}{l}0&2\\ b&0\end{array}}]$，直线l₁：x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得到直线l₂，直线l₂又经矩阵B所对应的变换得到直线l₃：x+y+4=0．
（1）求a，b的值；
（2）求直线l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）因为直线l₁经矩阵A所对应的变换得直线l₂，直线l₂又经矩阵B的变换得到直线l₃．故直线l₁经矩阵AB所对应的变换可直接得到直线l₃，故可求出矩阵AB，即求出参量a，b；
（2）根据矩阵变换求得直线l₂的方程即可．

解答 解：（1）根据题意可得：直线l₁经矩阵AB所对应的变换可直接得到直线l₃
BA=$[\begin{array}{l}{0}&{1}\\{b}&{0}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{0}&{1}\\{a}&{0}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2a}&{0}\\{0}&{b}\end{array}]$，得l₁变换到l₃的变换公式$\left\{\begin{array}{l}{x′=2ax}\\{y′=by}\end{array}\right.$，
则得到直线2ax+by+4=0即直线l₁：x-y+4=0，
则有$\left\{\begin{array}{l}{2a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，∴a=$\frac{1}{2}$，b=-1；
（2）A=$[\begin{array}{l}{0}&{1}\\{\frac{1}{2}}&{0}\end{array}]$，得l₁变换到l₃的变换公式$\left\{\begin{array}{l}{x′=2y}\\{y′=x}\end{array}\right.$
可得l₂的方程为2y-x+4=0．

点评 此题主要考查了矩阵变换，考查学生的计算能力，属于基础题．