Question

13．若a_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．，b_n=n，n∈N^*，则b₁（a₂₀₁₂-a₁）+b₂（a₂₀₁₂-a₂）+b₃（a₂₀₁₂-a₃）+…+b₂₀₁₁（a₂₀₁₂-a₂₀₁₁）=1011533．

Answer 1

分析 a_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．，b_n=n，n∈N^*，可得b₁（a₂-a₁）=$\frac{1}{2}$，b₁（a₃-a₁）+b₂（a₃-a₂）=$\frac{1}{2}+\frac{1+2}{3}$，…，依此类推可得：b₁（a₂₀₁₂-a₁）+b₂（a₂₀₁₂-a₂）+b₃（a₂₀₁₂-a₃）+…+b₂₀₁₁（a₂₀₁₂-a₂₀₁₁）=$\frac{1}{2}+\frac{1+2}{3}+\frac{1+2+3}{4}$+…+$\frac{1+2+3+…+2011}{2012}$，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵a_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．，b_n=n，n∈N^*，
则b₁（a₂-a₁）=$\frac{1}{2}$，
b₁（a₃-a₁）+b₂（a₃-a₂）=$\frac{1}{2}+\frac{1+2}{3}$，
b₁（a₄-a₁）+b₂（a₄-a₂）+b₃（a₄-a₃）=$\frac{1}{2}+\frac{1+2}{3}+\frac{1+2+3}{4}$，
…，
依此类推可得：b₁（a₂₀₁₂-a₁）+b₂（a₂₀₁₂-a₂）+b₃（a₂₀₁₂-a₃）+…+b₂₀₁₁（a₂₀₁₂-a₂₀₁₁）
=$\frac{1}{2}+\frac{1+2}{3}+\frac{1+2+3}{4}$+…+$\frac{1+2+3+…+2011}{2012}$
=$\frac{2-1}{2}$+$\frac{3-1}{2}$+$\frac{4-1}{2}$+…+$\frac{2012-1}{2}$
=$\frac{\frac{2011（1+2011）}{2}}{2}$=1011533．

点评 本题考查了等差数列的前n项和公式、类比推理，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．