Question

18．设F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的焦点，过F做双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于P，Q，若$\overline{FP}$=4$\overline{FQ}$，则双曲线的离心率是$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 设F（-c，0），过F作双曲线一条渐近线的垂线方程为y=$\frac{a}{b}$（x+c），与两条渐近线方程联立，求出P，Q的横坐标，利用$\overline{FP}$=4$\overline{FQ}$，建立方程，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：设F（-c，0），过F作双曲线一条渐近线的垂线方程为y=$\frac{a}{b}$（x+c）
与y=-$\frac{a}{b}$x，联立可得x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$；与y=$\frac{a}{b}$x联立可得x=$\frac{{a}^{2}c}{{b}^{2}-{a}^{2}}$，
∵$\overline{FP}$=4$\overline{FQ}$，
∴$\frac{{a}^{2}c}{{b}^{2}-{a}^{2}}$+c=4（-$\frac{{a}^{2}}{c}$+c），
∴a²c²=（c²-2a²）（3c²-4a²），
∴3e⁴-11e²+8=0，
∵e＞1，∴e²=$\frac{8}{3}$
∴e=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，确定a，c的关系是关键．