Question

9．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，
（1）若a=-1时，试求f（x）在定义域内的单调性；
（2）若a=-$\sqrt{e}$，求f（x）在[1，e]上的最小值；
（3）若f（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出；
（2）根据导数函数的最值的关系即可求出；
（3）对于恒成立的问题，分离参数，构造函数，求出函数的最值即可．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，x＞0，
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，
当x＞1时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，1）上为减函数，在[1，+∞）为增函数；
（2）当a=-$\sqrt{e}$时，f（x）=lnx+$\frac{\sqrt{e}}{x}$，x∈[1，e]，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{\sqrt{e}}{{x}^{2}}$=$\frac{x-\sqrt{e}}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{e}$，
当1≤x＜$\sqrt{e}$时，f′（x）＜0，函数为减函数，
当$\sqrt{e}$＜x≤e时，f′（x）＞0，函数为增函数，
∴f（x）_min=f（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$；
（3）∵f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$≥0在（1，+∞）上恒成立，
∴a≤xlnx在（1，+∞）上恒成立，
设g（x）=xlnx，
∴g′（x）=1+lnx＞0，在（1，+∞）上恒成立，
∴g（x）在（1，+∞）为增函数，
∴g（x）_min＞g（1）=0，
∴a≤0

点评 本题考查了导数函数的单调性最值的关系，以及函数恒成立的问题，属于中档题．