Question

13．已知函数f（x）=$\frac{a}{{x}^{2}+2lnx}$，若当1＜x＜2时，f（x）≥2恒成立，则实数a的取值范围为[8+4ln2，+∞）．

Answer 1

分析 当1＜x＜2时，f（x）≥2恒成立，即为当1＜x＜2时，$\frac{a}{{x}^{2}+2lnx}$≥2恒成立，令g（x）=x²+2lnx，运用参数分离和导数判断单调性，即可求得a的范围．

解答 解：当1＜x＜2时，f（x）≥2恒成立，
即为当1＜x＜2时，$\frac{a}{{x}^{2}+2lnx}$≥2恒成立，
令g（x）=x²+2lnx，
则g′（x）=2x+$\frac{2}{x}$＞0恒成立，
即有g（x）在（1，2）递增，
则1＜g（x）＜4+2ln2，
即有$\frac{a}{2}$≥g（x）在（1，2）恒成立，
则$\frac{a}{2}$≥4+2ln2，
解得a≥8+4ln2．
故答案为：[8+4ln2，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值或值域问题，注意运用参数分离和导数判断单调性，属于中档题．