Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²-12n
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a₁=-11，当n≥2时，可得a_n=S_n-S_n-1=2n-13，综合可得数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-13，可证为等差数列；
（2）易得数列{a_n}的前6项均为负数，从第7项开始为正数，当n≤6时，T_n=-S_n；当n≥7时，T_n=S_n-2S₆，代值计算可得．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n=n²-12n，
∴a₁=S₁=1-12=-11，当n≥2时，
可得a_n=S_n-S_n-1=n²-12n-（n-1）²+12（n-1）=2n-13，
当n=1时，上式也适合，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-13，
∴a_n+1-a_n=2（n+1）-13-2n+13=2
∴{a_n}是2为公差的等差数列；
（2）由（1）知a_n=2n-13，令a_n=2n-13≥0可解得n≥$\frac{13}{2}$，
∴数列{a_n}的前6项均为负数，从第7项开始为正数，
∴当n≤6时，T_n=-S_n=-n²+12n；
当n≥7时，T_n=S_n-2S₆=n²-12n+36
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+12n，n≤6}\\{{n}^{2}-12n+36，n≥7}\end{array}\right.$

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的关系，涉及分类讨论的思想，属中档题．