Question

15．已知函数f（x）=（a-3）x-ax³在[-1，1]的最小值为-3，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1]
• B． [12，+∞）
• C． [-1，12]
• D． $[{-\frac{3}{2}，12}]$

Answer 1

分析 分析四个选项，可发现C、D选项中a可以取0，故代入a=0可排除A、B；再注意C、D选项，故将$a=-\frac{3}{2}$代入验证即可；从而得到答案．

解答 解：当a=0时，f（x）=-3x，x∈[-1，1]，显然满足，
故a可以取0，
故排除A，B；
当$a=-\frac{3}{2}$时，$f（x）=\frac{3}{2}{x^3}-\frac{9}{2}x$，
$f'（x）=\frac{9}{2}{x^2}-\frac{9}{2}=\frac{9}{2}（{x^2}-1）$，
所以f（x）在[-1，1]上递减，
所以$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{3}{2}-\frac{9}{2}=-3$，满足条件，
故排除C，
故选：D．

点评 本题考查了函数的最值的求法及排除法的应用，属于中档题．