Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．
（1）证明：数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差数列；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．两边除以n（n+1）化为$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}$=1，即可证明；
（2）由（1）利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 （1）证明：∵na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差数列，首项为1，公差为1．
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差数列；
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+n-1=n，
∴${a}_{n}={n}^{2}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．