Question

14．已知l：y=kx+b为曲线y=f（x）的“渐近线”，给出定义域均为D={x|x＞1}的函数如下：
①f（x）=$\sqrt{x}$；
②f（x）=$\frac{2x-3}{x}$；
③f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$；
④f（x）=$\frac{xlnx+1}{lnx}$；
⑤f（x）=2（x-1-e^-x）．
其中，曲线y=f（x）存在“渐近线”的有（将序号填到横线上）②③④⑤．

Answer 1

分析 本题从大学数列极限定义的角度出发，构造渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，y-f（x）→0进行作答．

解答 解：l：y=kx+b为曲线y=f（x）的“渐近线”的充要条件是x→∞时，y-f（x）→0．
对于①y=kx+b，f（x）=$\sqrt{x}$，当x＞1时便不符合，所以①不存在；
对于②y=kx+b，f（x）=$\frac{2x-3}{x}$肯定存在渐近线，因为当时，y-f（x）→0；②正确．
对于③y=kx+b，k=0，b=0时，y是f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$的渐近线，③正确．
对于④y=kx+b，k=1，b=0，f（x）=$\frac{xlnx+1}{lnx}$=x+$\frac{1}{lnx}$，
所以当x→+∞时，y-f（x）会越来越小，趋近于0，
所以存在渐近线；④正确．
对于⑤y=kx+b，f（x）=2（x-1-e^-x），k=2，b=-2时，
当x→∞时，y-f（x）=kx+b-2x+2+2e^-x=2e^-x→0，
因此存在渐近线．
故存在分渐近线的是：②③④⑤．
故答案为：②③④⑤．

点评 本题较难，涉及到部分大学内容，属于拓展类题目．是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．