Question

19．设等差数列{a_n}满足a₁=1，a_n＞0（n∈N^*），其前n项和为S_n，若数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}也为等差数列，则$\frac{{S}_{n+10}}{{a}_{n}^{2}}$的最大值是（　　）

• A． 310
• B． 212
• C． 180
• D． 121

Answer 1

分析 等差数列{a_n}满足a₁=1，a_n＞0（n∈N^*），设公差为d，则a_n=1+（n-1）d，其前n项和为S_n=$\frac{n[1+1+（n-1）d]}{2}$，由于数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}也为等差数列，可得$2\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{3}}$，解出d，可得$\frac{{S}_{n+10}}{{a}_{n}^{2}}$=$（\frac{n+10}{2n-1}）^{2}$，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：∵等差数列{a_n}满足a₁=1，a_n＞0（n∈N^*），设公差为d，则a_n=1+（n-1）d，
其前n项和为S_n=$\frac{n[1+1+（n-1）d]}{2}$，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{\frac{n[2+（n-1）d]}{2}}$，
$\sqrt{{S}_{1}}$=1，$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{2+d}$，$\sqrt{{S}_{3}}$=$\sqrt{3+3d}$，
∵数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}也为等差数列，
∴$2\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{3}}$，
∴$2\sqrt{2+d}$=1+$\sqrt{3+3d}$，
解得d=2．
∴S_n+10=（n+10）²，
${a}_{n}^{2}$=（2n-1）²，
∴$\frac{{S}_{n+10}}{{a}_{n}^{2}}$=$（\frac{n+10}{2n-1}）^{2}$=$（\frac{1}{2}+\frac{21}{4n-2}）^{2}$，
由于$\{（\frac{1}{2}+\frac{21}{4n-2}）^{2}\}$为单调递减数列，
∴$\frac{{S}_{n+10}}{{a}_{n}^{2}}$≤$\frac{{S}_{11}}{{a}_{1}^{2}}$=11²=121，
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．