Question

9．已知函数f（x）=alnx+$\frac{2（1-x）}{1+x}$（a∈R）定义域为（0，1），则f（x）的图象不可能是（　　）

• A．
• B．
• C．         {，
• D．

Answer 1

分析 已知函数f（x），在函数式中含有参数，所以本题在定义域内对参数的讨论是本题的重点，可以对参数a分以下几种情况进行讨论①a=0②a＜0③a＞0根据不同的情况进行具体分析．

解答 解：f（x）=alnx+$\frac{2（1-x）}{1+x}$（a∈R），定义域为（0，1），下面把参数分以下三种情况进行讨论：
（1）当a=0 函数f（x）=$\frac{2（1-x）}{1+x}$＞0．故A符合，
（2）当a＜0 用单调性来进行讨论，由于函数y=lnx在定义域（0，1）内为增函数，则y=alnx为减函数，
同时y=$\frac{2（1-x）}{1+x}$=$\frac{4}{1+x}$-2也为减函数，所以函数f（x）为减函数，故A符合，
（3）当a＞0 利用函数的导数来讨论，则f′（x）=$\frac{a}{x}$+$\frac{-4}{（1+x）^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+（2a-4）x+4}{x（1+x）^{2}}$，
令f′（x）=0 即ax²+（2a-4）x+a=0，
则△=16-16a下面再分三种情况讨论，
①当a=1，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+1}{x（1+x）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}}{x（1+x）^{2}}$＞0 则函数f（x）为增函数，故B符合．
②当1＞a＞0时ax²+（2a-4）x+a=0存在两根x₁=$\frac{2-a+2\sqrt{1-a}}{a}$，x₂=$\frac{2-a-2\sqrt{1-a}}{a}$，由于1＞a＞0则 得到1＞x₁＞0，x₂＞1，
当x₁＞x＞0函数图象为增函数 当x₁＜x＜1时为减函数，故C符合，
③当a＞1时 f′（x）＞0恒成立，故B符合，
通过以上讨论，排除得到答案应D，
故选：D．

点评 本题利用的知识点较多，通过函数的值，函数的单调性，以及导数进行分类讨论难度较大．分类讨论是解决本题的关键，属于难题．