Question

17．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别为O，O₁，O₂．动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动（其中A，O₁，O，O₂，B五点共线），记点P运动的路程为x，设y=|O₁P|²，y与x的函数关系为y=f（x），则y=f（x）的大致图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由题意需要分段讨论，借助向量，当x∈[π，2π）时，由$\overrightarrow{{O}_{1}P}$=$\overrightarrow{{O}_{2}P}$-$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{1}}$设$\overrightarrow{{O}_{2}P}$与$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{1}}$的夹角为θ，再根据模的概念和弧长和弧度的关系，得到函数的表达式y=5+4cosx，x∈（π，2π），同理求出后几段的表达式，继而得到函数的图象．

解答 解：当x∈[0，π]时，y=1，
当x∈[π，2π）时，
∵$\overrightarrow{{O}_{1}P}$=$\overrightarrow{{O}_{2}P}$-$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{1}}$设$\overrightarrow{{O}_{2}P}$与$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{1}}$的夹角为θ，|$\overrightarrow{{O}_{2}P}$|=1，|$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{1}}$|=2，
∴θ=π-x
∴y=|O₁P|²=（$\overrightarrow{{O}_{2}P}$-$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{1}}$）²=5-4cosθ=5+4cosx，x∈（π，2π），
∴函数y=f（x）的图象是曲线，且为单调递增，
当x∈[2π，4π）时，
∵$\overrightarrow{{O}_{1}P}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{O}_{1}}$，设$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{O{O}_{1}}$的夹角为α，|$\overrightarrow{OP}$|=2与|$\overrightarrow{O{O}_{1}}$|=1，
∴α=2π-$\frac{1}{2}$x，
∴y=|O₁P|²=（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{O}_{1}}$）²=5-4cosθ=5+4cos$\frac{1}{2}$x，x∈（2π，4π），
∴函数y=f（x）的图象是曲线，且为单调递减．
故选：A

点评 本题考查了函数的图象的识别，借助向量求出函数的表达式，培养了学生的应用知识的能力，属于难题．