Question

7．已知x，y∈R，则u（x，y）=x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$-2xy+$\frac{18}{x}$$\sqrt{2-{y}^{2}}$的最小值是6．

Answer 1

分析 由题意，利用配方可得u（x，y）=x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$-2xy+$\frac{18}{x}$$\sqrt{2-{y}^{2}}$=$[\frac{9}{x}+\sqrt{2-{y}^{2}}]^{2}$+（x-y）²-2，从而设点P（x，$\frac{9}{x}$），Q（y，-$\sqrt{2-{y}^{2}}$）；原函数可看成两点的距离的平方减去2，从而利用数形结合求解．

解答 解：u（x，y）=x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$-2xy+$\frac{18}{x}$$\sqrt{2-{y}^{2}}$
=$[\frac{9}{x}+\sqrt{2-{y}^{2}}]^{2}$+（x-y）²-2，
设点P（x，$\frac{9}{x}$），Q（y，-$\sqrt{2-{y}^{2}}$）；
当x∈R（x≠0）时，
点P（x，$\frac{9}{x}$）在以两坐标轴为渐近线的双曲线上，
点Q在半圆x²+y²=2（y≤0）上，
则|PQ|≥3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$；
故u（x，y）=|PQ|²≥6，
（当且仅当x=-3，y=-1时，等号成立）
故答案为：6．

点评 本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，属于中档题．