Question

18．已知函数f（x）=2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）画出y=f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的图象；
（4）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值及取得最小值时x的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2+2sin（2x-$\frac{π}{6}$），由三角函数的周期性及其求法即可得解．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间．
（3）由五点作图法即可画出y=f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的图象．
（4）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，从而可求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值及取得最小值时x的值．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+1=1-cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2+2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得：kπ$-\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间是：[kπ$-\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
（3）画出y=f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的图象如下：

（4）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，f（x）=2+2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[0，4]，
∴当x=-$\frac{π}{6}$，或$\frac{5π}{6}$时，f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值为0．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，五点作图法画函数的图象等知识的综合应用，属于基本知识的考查．