Question

6．已知数列{a_n}满足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N^*，且a₅=$\frac{π}{2}$若函数f（x）=sin2x-2sin²$\frac{x}{2}$，记y_n=f（a_n）则数列{y_n}的前9项和为-9．

Answer 1

分析 由已知递推式得到数列{a_n}为等差数列，再由a₅=$\frac{π}{2}$得到a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅=π，利用二倍角余弦把f（x）化简，由三角函数的和差化积求得答案．

解答 解：∵数列{a_n}满足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N^*，
∴数列{a_n}是等差数列，
∵a₅=$\frac{π}{2}$，∴a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅=π，
∵f（x）=sin2x-2sin²$\frac{x}{2}$，
∴f（x）=sin2x+cosx-1，
∴f（a₁）+f（a₉）=sin2a₁+cosa₁-1+sin2a₉+cosa₉-1
=2sin（a₁+a₉）cos（a₁-a₉）+2$cos\frac{{a}_{1}+{a}_{9}}{2}cos\frac{{a}_{1}-{a}_{9}}{2}$-2
=2sinπ•cos（a₁-a₉）+2cos$\frac{π}{2}$cos$\frac{{a}_{1}-{a}_{9}}{2}$-2=-2．
同理f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=-2
∵f（a₅）=-1，
∴数列{y_n}的前9项和为-9．
故答案为：-9．

点评 本题考查了等差关系的确定，考查了二倍角余弦公式的应用，训练了三角函数值的求法，是中档题．