Question

11．已知函数f（x）的值域为[$\frac{1}{4}$，4]，求g（x）=f（x）-2$\sqrt{f（x）}$的值域．

Answer 1

分析 换元$\sqrt{f（x）}=t$，$t∈[\frac{1}{2}，2]$，所以f（x）=t²，从而得到函数t²-2t，所以求该二次函数的值域即可．

解答 解：设$\sqrt{f（x）}=t$，t＞0；
∴f（x）=t²，$\frac{1}{4}≤f（x）≤4$；
∴$\frac{1}{4}≤{t}^{2}≤4$；
解得$\frac{1}{2}≤t≤2$；
将g（x）变成：t²-2t=（t-1）²-1；
∴-1≤（t-1）²-1≤0；
∴g（x）的值域为[-1，0]．

点评 考查函数值域的概念，通过换元求函数值域的方法，以及根据二次函数的图象求值域的方法，熟悉二次函数的图象．