Question

1．设实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x≤y\\ y≤10-2x\\ x≥1\end{array}$，则$z={2^x}×{（{\frac{1}{4}}）^y}$的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化$z={2^x}×{（{\frac{1}{4}}）^y}$=2^x-2y，令t=x-2y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入t=x-2y求出t的最大值，则z的最大值可求．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≤y\\ y≤10-2x\\ x≥1\end{array}$写出可行域如图，

$z={2^x}×{（{\frac{1}{4}}）^y}$=2^x-2y，
令t=x-2y，化为$y=\frac{x}{2}-\frac{t}{2}$，
由图可知，当直线$y=\frac{x}{2}-\frac{t}{2}$过A（1，1）时，直线在y轴上的截距最小，t有最大值为1-2×1=-1，
此时z有最大值为${2}^{-1}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．