Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求（n-8）b_n≥nk对任意n∈N^*恒成立的实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先利用递推关系式求出数列是等比数列，进一步求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的通项公式求出数列的和，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围．

解答 解：（1）由S_n=2a_n-2，
当n=1时，求得：a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
所以：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=2$（常数），
所以：数列{a_n}是以a₁=2为首项，2为公比的等比数列．
所以：${a}_{n}=2•{2}^{n-1}={2}^{n}$．…（6分）
（2）已知：b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，
=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
由于（n-8）b_n≥nk对任意n∈N^*恒成立，
所以$\frac{（n-8）（n+1）}{2}≥k$对任意的n∈N⁺恒成立．
设${c}_{n}=\frac{（n-8）（n+1）}{2}$，则当n=3或4时，c_n取最小值为-10．
所以：k≤-10．…（12分）

点评 本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列是等比数列，等比数列通项公式的求法，数列的求和，及恒成立问题的应用．