Question

20．已知三棱锥P-ABC的顶点都在球O的表面上，若PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，则球O的表面积为12π．

Answer 1

分析 设过A，B，C的截面圆的圆心为O′，半径为r，球心O到该截面的距离为d，利用PA，PB，PC两两垂直，O′为△ABC的中心，求出截面圆的半径，通过球的半径截面圆的半径球心与截面的距离，求出球的半径，即可求出球的表面积．

解答 解：如图，设过A，B，C的截面圆的圆心为O′，半径为r，球心O到该截面的距离为d，
因为PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，∴AB=BC=CA=2$\sqrt{2}$，且O′为△ABC的中心，
于是$\frac{2\sqrt{2}}{sin60°}$=2r，得r=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
又PO′=$\sqrt{4-{r}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
OO′=R-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$，解得R=$\sqrt{3}$，
故S_球=4πR²=12π．
故答案为：12π．

点评 本题是中档题，考查球的表面积的求法，球的截面圆的有关性质，考查空间想象能力，计算能力．