Question

5．若△ABC的三边a，b，c及面积S满足S=a²-（b-c）²，则sinA=$\frac{8}{17}$．

Answer 1

分析 由条件利用余弦定理求得 4-4cosA=sinA，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得 tan$\frac{A}{2}$的值，可得sinA=$\frac{2tan\frac{A}{2}}{{tan}^{2}\frac{A}{2}+1}$ 的值．

解答 解：△ABC中，由于面积S=a²-（b-c）² =b²+c²-2bc•coA-（ b²+c²-2bc）=2bc-2bc•cosA，
而S=$\frac{1}{2}$bc•sinA，∴2bc-2bc•cosA=$\frac{1}{2}$bc•sinA，求得 4-4cosA=sinA，即4-4（1-2${sin}^{2}\frac{A}{2}$）=2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$，
∴tan$\frac{A}{2}$=$\frac{1}{4}$，∴sinA=$\frac{2sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}}{{sin}^{2}\frac{A}{2}{+cos}^{2}\frac{A}{2}}$=$\frac{2tan\frac{A}{2}}{{tan}^{2}\frac{A}{2}+1}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{16}+1}$=$\frac{8}{17}$，
故答案为：$\frac{8}{17}$．

点评 本题主要考查余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题．