Question

16．已知两点M（-1，0），N（1，0），若直线y=k（x-2）上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [-5，5]
• B． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]
• C． [-$\frac{1}{3}$，0）∪（0，$\frac{1}{3}$]
• D． [-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]

Answer 1

分析 k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，故k≠0，然后分三种情况分析，即∠PMN，∠PNM，∠MPN为直角，若△MNP是直角三角形，由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，由此能求出实数k的取值范围．

解答 解：当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，
∴k≠0，
如图所示，
△MNP是直角三角形，有三种情况：
当M是直角顶点时，直线上有唯一点P₁点满足条件；
当N是直角顶点时，直线上有唯一点P₃满足条件；
当P是直角顶点时，此时至少有一个点P满足条件．
由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，
则$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}≤1$，解得-$\frac{\sqrt{3}}{3}≤k≤\frac{\sqrt{3}}{3}$，且k≠0．
∴实数k的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}，0$）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
故选：D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合及分类讨论的数学思想方法，是中档题．