Question

14．已知函数f（x）=x（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$），若f（x₁）＜f（x₂），则（　　）

• A． x₁＞x₂
• B． x₁+x₂=0
• C． x₁＜x₂
• D． x₁²＜x₂²

Answer 1

分析 先容易判断出f（x）在R上是偶函数，所以通过求导可以判断该函数在[0，+∞）上单调递增，所以由f（x₁）＜f（x₂）得到f（|x₁|）＜f（|x₂|），所以由单调性即可得到|x₁|＜|x₂|，所以${{x}_{1}}^{2}＜{{x}_{2}}^{2}$．

解答 解：f（-x）=$-x（\frac{1}{{e}^{x}}-{e}^{x}）$=f（x）；
∴f（x）在R上为偶函数；
$f′（x）={e}^{x}-\frac{1}{{e}^{x}}+x（{e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}）$；
∴x＞0时，f′（x）＞0；
所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
而由f（x₁）＜f（x₂）得，f（|x₁|）＜f（|x₂|）；
∴|x₁|＜|x₂|；
∴${{x}_{1}}^{2}＜{{x}_{2}}^{2}$．
故选D．

点评 考查偶函数的定义及判断过程，函数导数符号和函数单调性的关系，以及偶函数定义的运用：对于偶函数f（x），f（x₁）＜f（x₂）和f（|x_1|）＜f（|x_2|）等价．