Question

14．设矩阵A=$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{3}\end{array}）$
①求矩阵A的逆矩阵A^-1
②若曲线C在矩阵A^-1D的作用下变为曲线C：′x²-y²=1，求曲线C的方程．

Answer 1

分析 ①求出矩阵A=$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{3}\end{array}）$的行列式为$|\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{3}\end{array}|$=-1，即可求出矩阵A的逆矩阵A^-1
②设曲线C上任一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用后变为曲线C′上一点P（x′，y′），由矩阵变换的特点，即可得到它们的关系式，再代入已知曲线方程即可．

解答 解：①矩阵A=$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{3}\end{array}）$的行列式为$|\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{3}\end{array}|$=-1，
所以A^-1=$[\begin{array}{l}{-3}&{2}\\{2}&{-1}\end{array}]$；
②设曲线C上任一点P（x，y）在矩阵A^-1对应的变换作用后变为曲线C′上一点Q（x′，y′），
则$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-3}&{2}\\{2}&{-1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-3x+2y}\\{2x-y}\end{array}]$，
从而$\left\{\begin{array}{l}{x′=-3x+2y}\\{y′=2x-y}\end{array}\right.$                     
因为点Q在曲线C′上，所以x′²-y′²=1，即（-3x+2y）²-（2x-y）²=1，
从而5x²-8xy+3y²=1．
所以曲线C的方程为5x²-8xy+3y²=1．

点评 本题考查矩阵的逆矩阵，以及矩阵变换下的曲线方程，属于中档题．