Question

6．在等比数列{a_n}中，a₁=1，a₅=2a₄，且前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，满足b₁=1，T_n=n²b_n，n∈N*
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=（S_n+1）（nb_n-λ），若数列{c_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出等比数列{a_n}的公比，得出{a_n}的通项公式即可，由数列{b_n}的前n项和T_n，得出T_n-1，从而求出通项公式b_n；
（2）由（1）得数列{a_n}的前n项和S_n，求出c_n的表达式，再根据{c_n}是单调递减数列，得c_n+1-c_n≤0，求出λ的取值范围．

解答 解：（1）等比数列{a_n}中，a₁=1，a₅=2a₄，
∴公比q=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=2，
∴数列{a_n}的通项公式为
a_n=a₁q^n-1=1×2^n-1=2^n-1；
又∵数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足b₁=1，T_n=n²b_n，
∴T_n-1=（n-1）²•b_n-1，n≥2；
∴b_n=T_n-T_n-1=n²•b_n-（n-1）²•b_n-1，
即（n²-1）b_n=（n-1）²b_n-1，
∴b_n=$\frac{n-1}{n+1}$b_n-1，n≥2；
∴b₂=$\frac{1}{3}$b₁，
b₃=$\frac{2}{4}$b₂，
b₄=$\frac{3}{5}$b₃，
b₅=$\frac{4}{6}$b₄，…，
b_n-1=$\frac{n-2}{n}$b_n-2；
∴b_n•b_n-1…b₅•b₄•b₃•b₂=$\frac{n-1}{n+1}$b_n-1•$\frac{n-2}{n}$b_n-1…$\frac{4}{6}$b₄•$\frac{3}{5}$b₃•$\frac{2}{4}$b₂•$\frac{1}{3}$b₁，
∴b_n=$\frac{2×1}{n（n+1）}$b₁=$\frac{2}{n（n+1）}$，n≥2；
当n=1时，b₁=$\frac{2}{1×2}$=1，
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=$\frac{2}{n（n+1）}$，n∈N^*；
（2）由（1）得，数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{{a}_{1}（1{-q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1×（1{-2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴c_n=（S_n+1）（nb_n-λ）=（2ⁿ-1+1）（n•$\frac{2}{n（n+1）}$-λ）=2ⁿ（$\frac{2}{n+1}$-λ），
∵数列{c_n}是单调递减数列，
∴c_n+1-c_n=2ⁿ⁺¹（$\frac{2}{n+2}$-λ）-2ⁿ（$\frac{2}{n+1}$-λ）≤0，
即2ⁿ⁺¹（$\frac{2}{n+2}$-λ）≤2ⁿ（$\frac{2}{n+1}$-λ），
∴λ≥$\frac{4}{n+2}$-$\frac{2}{n+1}$=$\frac{2n}{{n}^{2}+3n+2}$=$\frac{2}{n+\frac{2}{n}+3}$；
∴当n=1或2时，$\frac{2}{n+\frac{2}{n}+3}$取得最大值$\frac{1}{3}$，
∴实数λ的取值范围是[$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了等比数列的通项公式以及前n项和的应用问题，也考查了利用基本不等式求函数最值的应用问题，是综合性题目．