Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，M是椭圆C上任意一点，且点M到椭圆C右焦点F距离的最小值是$\sqrt{2}$-1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A，B是椭圆C的左右顶点，当点M与A，B不重合时，过点F且与直线MB垂直的直线交直线AM于点P，求证：点P在定直线上．

Answer 1

分析 （1）由条件知$a-c=\sqrt{2}-1$，离心率的关系式，a，b，即可求解椭圆C的方程．
（2）设M（x₀，y₀）（y₀≠0），代入椭圆方程，写出直线AM的方程，推出直线FP的方程，然后化简整理推出结果即可．

解答 解：（1）由条件知$a-c=\sqrt{2}-1$，又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$…（2分）
解得$a=\sqrt{2}$，c=1，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（4分）
（2）设M（x₀，y₀）（y₀≠0），则$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1$
直线AM的方程为$y=\frac{y_0}{{{x_0}+\sqrt{2}}}（x+\sqrt{2}）$…①…（6分）
∵FP⊥MB，∴直线FP的方程为$y=-\frac{{{x_0}-\sqrt{2}}}{y_0}（x-1）$…②…（8分）
联立①、②得$x+\sqrt{2}=-\frac{{{x_0}^2-2}}{{{y_0}^2}}（x-1）$…③…（10分）
又$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1$，即$-\frac{{{x_0}^2-2}}{{{y_0}^2}}=2$…④
将④代入③得$x=2+\sqrt{2}$，
∴点P在定直线$x=2+\sqrt{2}$上．…（12分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．