Question

7．若直线y=kx-2与抛物线y²=8x交于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标是2，则弦AB的长为2$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线方程与抛物线方程联立可得k²x²-（4k+8）x+4=0，利用△＞0，可得k＞-1．利用中点坐标公式、根与系数的关系可得k及其弦长|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化为k²x²-（4k+8）x+4=0，
△=（4k+8）²-16k²＞0，化为k＞-1．
∴x₁+x₂=$\frac{8+4k}{{k}^{2}}$=2×2，化为k²-k-2=0，
解得k=-1或k=2．
取k=2．
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{5（{4}^{2}-4）}$=2$\sqrt{15}$．
故答案为：2$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．