Question

16．各项均为正数的{a_n}，{b_n}，a_n+1=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}}$，b_n+1=1+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求证：{$（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$}成AP．

Answer 1

分析 利用a_n+1=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}}$，b_n+1=1+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，代入，可得（$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$）²-$（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$=1，即可得出结论．

解答 证明：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}}$，b_n+1=1+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，
∴（$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$）²=（1+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$）²÷（$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}}$）²=1+$（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$，
∴（$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$）²-$（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$=1，
∴{$（\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}）^{2}$}成AP．

点评 本题考查等差数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确运用等差数列的定义是关键．