Question

6．已知a、b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y=$\frac{1}{ab}$的最小值．

Answer 1

分析 由题意和基本不等式可得：2b+a≥2$\sqrt{2ab}$，当且仅当2b=a时取等号，代入2b+ab+a=30化简得ab+2$\sqrt{2ab}$-30≤0，利用换元法求出ab的范围，即可求出函数y=$\frac{1}{ab}$的最小值．

解答 解：因为a、b为正实数，
所以2b+a≥2$\sqrt{2ab}$，当且仅当2b=a时取等号，
由2b+ab+a=30得2b+a=30-ab，
则30-ab≥2$\sqrt{2ab}$，即ab+2$\sqrt{2ab}$-30≤0，
设t=$\sqrt{2ab}$，代入上面不等式得t²+4t-60≤0，
解得-10≤t≤6，则 0＜$\sqrt{2ab}$≤6，
所以0＜ab≤18，则$\frac{1}{ab}≥\frac{1}{18}$，当且仅当2b=a时取等号，
所以函数y=$\frac{1}{ab}$的最小值是$\frac{1}{18}$．

点评 本题考查基本不等式的应用：将方程转化为不等式，以及换元法在不等式中的应用，属于中档题．