Question

14．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若方程g（x）=tf（x）-x在[$\frac{1}{e}$，1]∪（1，e²]上有两个零点，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$的定义域，计算并判断f′（x）＞0或f′（x）＜0从而可得f（x）的单调区间．
（2）原命题等价于h（x）=$\frac{lnx}{x}$与y=t在[$\frac{1}{e}$，1）∪（1，e²]上有两个不同的交点，由h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}＞0$得0＜x＜e，h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}＜0$得x＞e，可求最大值h（e）=$\frac{1}{e}$，又h（$\frac{1}{e}$）=-e，h（e²）=$\frac{2}{{e}^{2}}$，h（1）=0且$\frac{2}{{e}^{2}}$＞0＞-e，从而可求实数t的取值范围．

解答 解：（1）因为f（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$定义域为（0，1）∪（1，+∞），
f′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{（lnx）^{2}}$由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（$\sqrt{e}$，+∞），
由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（0，1）（1，$\sqrt{e}$），…（6分）
（2）函数g（x）=tf（x）-x在[$\frac{1}{e}$，1）∪（1，e²]上有两个零点，
等价于h（x）=$\frac{lnx}{x}$与y=t在[$\frac{1}{e}$，1）∪（1，e²]上有两个不同的交点．
由h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}＞0$得0＜x＜e，h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}＜0$得x＞e，
所以当x=e时y=h（x）有极大值，即最大值h（e）=$\frac{1}{e}$，
又h（$\frac{1}{e}$）=-e，h（e²）=$\frac{2}{{e}^{2}}$，h（1）=0且$\frac{2}{{e}^{2}}$＞0＞-e，所以实数t的取值范围为[$\frac{2}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$）．…（12分）

点评 本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．