Question

2．如图，某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰在A处获悉后，测出该渔船在方位角为30°、距离为10海里的C处，并测得该渔船正沿方位角为90°的方向，以30海里/时的速度向小岛P靠拢，我海军舰立即以30$\sqrt{3}$海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间（注：方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角）．

Answer 1

分析 设两船在B点碰头，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，由题设知AB=30$\sqrt{3}$x，AC=10，BC=30x，∠ABC=120°，由余弦定理，知（30$\sqrt{3}$x）²=（10）²+（30x）²-2×10×30x×cos120°，由此能求出舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．

解答 解：设两船在B点碰头，舰艇到达渔船的最短时间是x小时，
则AB=30$\sqrt{3}$x，AC=10，BC=30x，∠ABC=120°
由余弦定理，知（30$\sqrt{3}$x）²=（10）²+（30x）²-2×10×30x×cos120°，
解得x=$\frac{1}{3}$，
此时BC=10，AB=10$\sqrt{3}$，
所以$\frac{10\sqrt{3}}{sin120°}=\frac{10}{sin∠CAB}$，
所以sin∠CAB=$\frac{1}{2}$，
所以∠CAB=30°，
所以舰艇的航向为方位角为60°，靠近渔船所需的时间为$\frac{1}{3}$小时．

点评 本题考查解三角形在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．