Question

13．若函数f（x）的极值点为m、n，满足|m-n|≤a，且|f（m）-f（n）|≤a，则称函数f（x）为“密集a函数”，设f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$ax²-2ax+2a+1（a≠0）是“密集3函数”，则a的取值范围是$[-\frac{2}{3}，0）∪（0，\frac{2}{3}]$．

Answer 1

分析 求出函数的导数得到极值点，然后利用新定义，求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$ax²-2ax+2a+1，可得f′（x）=ax²+ax-2a．∵a≠0，∴令f′（x）=0，解得x=-2，或x=1，由新定义可知：|f（-2）-f（1）|=|$-\frac{8}{3}a+2a+4a-\frac{a}{3}-\frac{a}{2}+2a$|=|$\frac{9a}{2}$|≤3，解得$-\frac{2}{3}≤a≤\frac{2}{3}$，又a≠0，
所以，a∈$[-\frac{2}{3}，0）∪（0，\frac{2}{3}]$．
故答案为：$[-\frac{2}{3}，0）∪（0，\frac{2}{3}]$．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，新定义的理解与应用，考查计算能力．