Question

18．已知O、A、B是不共线的三个定点，D是平面OAB内一点，且$\overrightarrow{OD}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，则下列命题正确的是①②④（写出所有正确命题的序号）．
①若x+y=1，则点D在直线AB上；
②若x+y=k（k为常数，且k≠1），则点D在平行于直线AB的直线上；
③若直线OD与直线AB交于不同于A、B的点P，则$\overrightarrow{AP}$=-$\overrightarrow{PB}$；
④若x＞0，y＞0，S_△OAD、S_△OBD分别表示△OAD、△OBD的面积，则S_△OAD：S_△OBD=y：x；
⑤若$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，且x²+y²=1，则点D在一圆上或椭圆上．

Answer 1

分析 根据向量的减法的几何意义，共线向量基本定理，向量加法的平行四边形法则，以及三角形的面积公式，数乘的几何意义即可判断每个命题的正误，从而写出正确命题的序号．

解答 解：①若x+y=1，则x=1-y；
∴$\overrightarrow{OD}=（1-y）\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$；
∴$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=y（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{AD}=y\overrightarrow{AB}$；
∴A，B，D三点共线；
即D在直线AB上；
∴该命题正确；
②如图，
x+y=k，∴x=k-y；
∴$\overrightarrow{OD}=（k-y）\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$；
∴$\overrightarrow{OD}-k\overrightarrow{OA}=y\overrightarrow{OB}$；
设E为向量k$\overrightarrow{OA}$的终点，k≠1，∴E不同于A；
则D在直线DE上，且DE∥AB；
∴该命题正确；
③若取x=y=1，便有$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，如图：

显然P为线段AB中点，所以$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}$；
∴该命题错误；
④如图，设$\overrightarrow{OE}=x\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OF}=y\overrightarrow{OB}$，过D作MN∥EF，分别交OA，OB于E，F，则D为MN的中点，所以S_△OMD=S_△OND；

若设D到OM的距离为h₁，D到ON的距离为h₂，则：
$\frac{1}{2}|\overrightarrow{OM}|{•h}_{1}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{ON}|•{h}_{2}$，$|\overrightarrow{OM}|=2|\overrightarrow{OE}|=2x|\overrightarrow{OA}|$，$|\overrightarrow{ON}|=2|\overrightarrow{OF}|=2y|\overrightarrow{OB}|$；
∴$\frac{1}{2}x|\overrightarrow{OA}|{h}_{1}=\frac{1}{2}y|\overrightarrow{OB}|{h}_{2}$；
∴$\frac{{S}_{△OAD}}{{S}_{△OBD}}=\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}|{h}_{1}}{\frac{1}{2}|\overrightarrow{OB}|{h}_{2}}=\frac{y}{x}$；
即S_△OAD：S_△OBD=y：x；
所以该命题正确；
⑤由②知点D在平行于AB的直线上；
∴该命题错误；
∴命题正确的是：①②④．
故答案为：①②④．

点评 考查向量减法的几何意义，共线向量基本定理，以及向量加法的平行四边形法则，三角形的面积公式．