Question

10．${∫}_{-\frac{π}{2}}^{0}$$\sqrt{1+sin2x}$dx=$2\sqrt{2}-2$．

Answer 1

分析 把被积函数根式内部变形，开方后分段去绝对值，然后求出被积函数的原函数，再分别代入积分上限和积分下限后作差得答案．

解答 解：${∫}_{-\frac{π}{2}}^{0}$$\sqrt{1+sin2x}$dx
=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{0}\sqrt{（sinx+cosx）^{2}}dx$
=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{0}|sinx+cosx|dx$
=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{-\frac{π}{4}}（-sinx-cosx）dx$${+∫}_{-\frac{π}{4}}^{0}（sinx+cosx）dx$
=$（cosx-sinx）{|}_{-\frac{π}{2}}^{-\frac{π}{4}}$$-（cosx-sinx）{|}_{-\frac{π}{4}}^{0}$
=$[cos（-\frac{π}{4}）-sin（-\frac{π}{4}）]-[cos（-\frac{π}{2}）-sin（-\frac{π}{2}）]$$-[cos0-sin0]+[cos（-\frac{π}{4}）-sin（-\frac{π}{4}）]$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-1-1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$2\sqrt{2}-2$．
故答案为：$2\sqrt{2}-2$．

点评 本题考查了定积分，考查了三角函数值的求法，考查了计算能力，是中档题．