Question

10．如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，E、F分别为PC和BD的中点．
（1）证明：EF∥面PAD；
（2）证明：面PDC⊥面PAD．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角形中位线的性质可得EF∥AP，再利用直线和平面平行的判定定理证得EF∥面PAD．
（2）由条件利用两个平面垂直的性质，可得CD⊥面PAD，再利用平面和平面垂直的判定定理证得面PDC⊥面PAD．

解答 证明：（1）如图：连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，
∴AC必经过F．
又E是PC的中点，∴EF 为△PAC的中位线，∴EF∥AP．
又∵EF?面PAD，PA?面PAD，∴EF∥面PAD．
（2）∵面PAD⊥面ABCD，ABCD为矩形，故有CD⊥AD．
面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD．
又CD?面PCD，∴面PDC⊥面PAD．

点评 本题主要考查直线和平面平行的判定定理，两个平面垂直的性质，平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．