Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求证：PQ⊥AB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-QB-M的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只需证明PQ⊥AD、PQ⊥BQ，即PQ⊥平面ABCD即可；
（Ⅱ）建立空间坐标系如图，根据题意，可得各点的坐标，设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{m}$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，可得平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（$-\sqrt{3}$，0，1），又直线PB与平面PCD所成角为θ加上＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{BP}$＞为$\frac{π}{2}$，所以所求值即为cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{BP}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（Ⅲ）同理可平面PQB的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，0，0），平面MQB的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\sqrt{3}$，0，1），故所求值即为cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

解答 （Ⅰ）证明：∵底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴AD⊥BQ，Q为AD中点，又∵PA=PD=2，∴PQ⊥AD，
又∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PQ⊥BQ，
∵BQ?平面ABCD，BQ?平面ABCD，∴PQ⊥平面ABCD，所以PQ⊥AB；
（Ⅱ）解：建立空间坐标系如图，根据题意，则A（1，0，0），Q（0，0，0），
B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0），P（O，0，$\sqrt{3}$），
由M是棱PC的中点可知M（$-\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（x，y，z）•（1，0，\sqrt{3}）=x+\sqrt{3}z=0}\\{（x，y，z）•（0，\sqrt{3}，0）=\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
因此平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（$-\sqrt{3}$，0，1），
所以cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{BP}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{BP}|}$=$\frac{（-\sqrt{3}，0，1）•（0，-\sqrt{3}，\sqrt{3}）}{\sqrt{3+1}•\sqrt{3+3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
记直线PB与平面PCD所成角为θ，则θ+＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{BP}$＞=$\frac{π}{2}$，
从而sinθ=cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{BP}$＞=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（Ⅲ）解：显然平面PQB的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，0，0），
设平面MQB的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{QB}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{QM}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（x，y，z）•（0，\sqrt{3}，0）=0}\\{（x，y，z）•（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）=0}\end{array}\right.$，
故平面MQB的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\sqrt{3}$，0，1），
则二面角P-QB-M的余弦值为cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{（1，0，0）•（\sqrt{3}，0，1）}{\sqrt{1}•\sqrt{3+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查空间角、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．