Question

15．设a＞1，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-1}$-y²=1的四个交点构成一个正方形，它们的离心率分别为e₁，e₂，求${{e}_{1}}^{2}$+${{e}_{2}}^{2}$．

Answer 1

分析 设正方形的一个顶点为（m，m），代入椭圆、双曲线方程，通过代入消元可解得a²=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，再由椭圆和双曲线的离心率公式，即可求出它们的平方和．

解答 解：由对称性知，设正方形的一个顶点为（m，m），（m＞0），
则代入椭圆和双曲线方程，即有
$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+m²=1，$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}-1}$-m²=1．
解得a²=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
即有e₁=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$，e₂=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}-1}}$，
则${{e}_{1}}^{2}$+${{e}_{2}}^{2}$=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-1}$=1-$\frac{2}{1+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{1-\frac{2}{1+\sqrt{3}}}$
=1-（$\sqrt{3}$-1）+2+$\sqrt{3}$=4．

点评 本题考查椭圆、双曲线的方程与性质，主要考查离心率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．