Question

6．如图，一条直线上有三点A，B，C，点C在点A与点B之间，点P是此直线外一点，设∠APC=α，∠BPC=β．求证：$\frac{sin（α+β）}{PC}=\frac{sinα}{PB}+\frac{sinβ}{PA}$．

Answer 1

分析 过点C作CE∥PA，交PB于点E，利用两直线平行内错角相等得到∠PCE=∠APC，∠PEC=π-（α+β），利用正弦定理列出关系式，再结合比例性质，即可证明结论．

解答 证明：过点C作CE∥PA，交PB于点E，则∠PCE=α，∠PEC=π-（α+β），
则在△PCE中，由正弦定理得：$\frac{sin∠PEC}{PC}$=$\frac{sin∠PCE}{PE}$=$\frac{sin∠BPC}{CE}$，
即$\frac{sin[π-（α+β）]}{PC}$=$\frac{sinα}{PE}$=$\frac{sinβ}{CE}$，
∴$\frac{sin（α+β）}{PC}$=$\frac{PA•sinα}{PA•PE}$=$\frac{PB•sinβ}{PB•CE}$，
利用比例性质，有：$\frac{sin（α+β）}{PC}$=$\frac{PAsinα+PBsinβ}{PA•PE+PB•CE}$，
∵CE∥PA，
∴CE：PA=BE：PB，
∴PA•PE+PB•CE=PA•PE+PA•BE=PA•（PE+BE）=PA•PB，
则$\frac{sin（α+β）}{PC}$=$\frac{sinα}{PB}$+$\frac{sinβ}{PA}$．

点评 本题考查正弦定理，比例的性质，以及诱导公式的作用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．．