Question

14．是否存在同时满足下列两条件的直线l：
（1）l与抛物线y²=8x有两个不同的交点A和B；
（2）线段AB被直线l₁：x+5y-5=0垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．

Answer 1

分析 假定存在同时满足下列两条件的直线l．设在抛物线y²=8x上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用点差法求得AB的斜率，再由两直线垂直的条件和中点坐标公式计算可得中点坐标，进而得到所求直线方程．

解答 解：假定存在同时满足下列两条件的直线l．
设在抛物线y²=8x上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
相减可得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=8（x₁-x₂），
可得k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
∵线段AB被直线l₁：x+5y-5=0垂直平分，
由于${k}_{{l}_{1}}$=-$\frac{1}{5}$，则k_AB=5，
即$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=5，即有y₁+y₂=$\frac{8}{5}$，
设线段AB的中点为M（x₀，y₀）．
则有y₀=$\frac{4}{5}$，代入x+5y-5=0得x₀=1．于是AB中点为M（1，$\frac{4}{5}$）．
故存在符合题设条件的直线，其方程为：
y-$\frac{4}{5}$=5（x-1）即25x-5y-21=0．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线方程的运用，同时考查两直线垂直的条件和线段中点坐标公式的运用，属于中档题．