Question

9．抛物线y=-x²上到直线4x+3y-8=0的距离取最小值时点的坐标是$（\frac{2}{3}，-\frac{4}{9}）$．

Answer 1

分析 设抛物线上的任意一点为P（x，-x²）．则点P到直线的距离d=$\frac{|4x-3{x}^{2}-8|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{|3（x-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{20}{3}|}{5}$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：设抛物线上的任意一点为P（x，-x²）．
则点P到直线的距离d=$\frac{|4x-3{x}^{2}-8|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{|3（x-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{20}{3}|}{5}$≥$\frac{4}{3}$，当x=$\frac{2}{3}$时取等号．
∴$y=-（\frac{2}{3}）^{2}=-\frac{4}{9}$．
∴P$（\frac{2}{3}，-\frac{4}{9}）$．
故答案为：$（\frac{2}{3}，-\frac{4}{9}）$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．