Question

9．设数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，且a₁，a₂-1，a₃-1是等比数列{b_n}的前三项．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，∴a_n=1+（n-1）d．
∵a₁，a₂-1，a₃-1是等比数列{b_n}的前三项，
∴$（{a}_{2}-1）^{2}$=a₁•（a₃-1），
∴d²=1+2d-1，
解得d=2，或d=0，舍去．
∴a_n=2n-1．
（2）由（1）可得：b₁=a₁=1，b₂=a₂-1=2，∴公比=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=2，
∴b_n=2^n-1．
∴c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1．
∴{c_n}的前n项和T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1．
2T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴-T_n=1+2×2+2×2²+…+2×2^n-1-（2n-1）×2ⁿ=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-1-（2n-1）×2ⁿ=（3-2n）•2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．