Question

5．已知F₁，F₂分别为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，M，N分别为其左右顶点，过F₂的直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l与x轴垂直时，四边形AMBN的面积等于2，且满足$|\overrightarrow{M{F_2}}|=2\sqrt{3}|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{{F_2}N}|$
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线m与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当直线l与x轴垂直时，由S_{四边形AMBN}=$\frac{1}{2}×2a×\frac{2{b}^{2}}{a}$=2，又$|\overrightarrow{M{F_2}}|=2\sqrt{3}|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{{F_2}N}|$，即$a+c=2\sqrt{3}\frac{{2{b^2}}}{a}+a-c$，又a²=c²+1，解得即可得出．
（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m （m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与椭圆方程联立可得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，则△＞0，可得根与系数的关系，可得 y₁y₂．根据直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，可得$\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}$=k²，解出k．利用点到直线的距离公式可得：点O到直线l的距离d，利用弦长公式可得|PQ|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．利用S_△OPQ=$\frac{1}{2}$d|PQ|即可得出．

解答 解：（1）当直线l与x轴垂直时，
由S_{四边形AMBN}=$\frac{1}{2}×2a×\frac{2{b}^{2}}{a}$=2，
解得b=1．
又$|\overrightarrow{M{F_2}}|=2\sqrt{3}|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{{F_2}N}|$，
∴$a+c=2\sqrt{3}\frac{{2{b^2}}}{a}+a-c$，即$ac=2\sqrt{3}$，
又a²=c²+1，解得a=2．
因此该椭圆的方程为椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为y=kx+m （m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+4{y^2}-4=0\end{array}\right.$，消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
则△=64 k²b²-16（1+4k²b²）（b²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
且${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-1）}}{{1+4{k^2}}}$．
故 y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
∴$\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}$=$\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}}}{{{x_1}{x_2}}}$=k²，
即$\frac{{-8{k^2}{m^2}}}{{1+4{k^2}}}$+m²=0，又m≠0，
∴k²=$\frac{1}{4}$，即k=$±\frac{1}{2}$．
由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m²＜2 且m²≠1．
设d为点O到直线l的距离，d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}|m|}{5}$，
|PQ|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{5}{4}[4{m}^{2}-4（2{m}^{2}-2）]}$=$\sqrt{5（2-{m}^{2}）}$．
则S_△OPQ=$\frac{1}{2}$d|PQ|=$\frac{1}{2}$|x₁-x₂||m|=$\sqrt{{m^2}（2-{m^2}）}$，
∴S_△OPQ的取值范围为 （0，1）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线的距离公式、弦长公式、等比数列的通项公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．