Question

17．已知抛物线C₁的顶点是双曲线C₂：x²-4ky²=4的中心，而焦点是双曲线的左顶点，
（1）当k=1时，求抛物线C₁的方程；
（2）若双曲线的离心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，求双曲线的渐近线方程和准线的方程．

Answer 1

分析 （1）把双曲线的方程化为标准方程可得左顶点，即可得到抛物线的基焦点及其p，即可得出抛物线的方程；
（2）由${a^2}=4，{b^2}=\frac{1}{k}$，${c^2}=4+\frac{1}{k}$，利用离心率计算公式可得k，即可得出双曲线的标准方程、渐近线方程与准线方程．

解答 解 （1）k=1，
可得：${C_2}：\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$，
∴a=2，
∴F₁（-2，0）
设抛物线C₁的方程为y²=-2px（p＞0），
则$\frac{p}{2}=2$，∴p=4，
∴y²=-8x．
（2）由${a^2}=4，{b^2}=\frac{1}{k}$，
∴${c^2}=4+\frac{1}{k}$，
∴$\frac{c^2}{a^2}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{4+\frac{1}{k}}}{4}=\frac{3}{2}$，
解得$k=\frac{1}{2}$，
∴${C_2}：\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$．
∴渐近线方程为$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，
准线方程为$x=±\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质、离心率渐近线及其准线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．