Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，且bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0
（1）求B；
（2）若|$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0，利用正弦定理可得：sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC-sinA-sinC=0，利用和差化积与积化和差、三角形内角和定理即可得出．
（2）取AC的中点D，由|$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{3}$，可得$|\overrightarrow{BD}|$=$\sqrt{3}$．在△ABC中，由余弦定理可得：b²=a²+c²-ac．由中线长定理：${a}^{2}+{c}^{2}=2B{D}^{2}+\frac{{b}^{2}}{2}$，化为a²+c²+ac=12，利用基本不等式的性质、三角形的面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0，
由正弦定理可得：sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC-sinA-sinC=0，
∴2sinBcos（C-$\frac{π}{3}$）=sinA+sinC，
∴sin（B+C-$\frac{π}{3}$）+sin（B-C+$\frac{π}{3}$）=sinA+sinC，
化为sin（$\frac{2π}{3}$-A）-sinA+sin（B-C+$\frac{π}{3}$）=sinC，
2cos$\frac{π}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-A）+sin（B-C+$\frac{π}{3}$）=sinC，
sin（$\frac{π}{3}$-A）+sin（B-C+$\frac{π}{3}$）=sinC，
$2sin\frac{\frac{2π}{3}+B-A-C}{2}$$cos\frac{C-A-B}{2}$=sinC，
$2sin（B-\frac{π}{6}）cos（C-\frac{π}{2}）$=sinC，
2sin（B-$\frac{π}{6}$）sinC=sinC，
∵sinC≠0，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）取AC的中点D，
∵|$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$．
∴$|\overrightarrow{BD}|$=$\sqrt{3}$．
在△ABC中，由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accos60°=a²+c²-ac．
由中线长定理：${a}^{2}+{c}^{2}=2B{D}^{2}+\frac{{b}^{2}}{2}$=6+$\frac{{b}^{2}}{2}$，
∴a²+c²+ac=12，
∴12≥3ac，化为ac≤4．当且仅当a=c=2时取等号．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{\sqrt{3}}{4}ac$$≤\frac{\sqrt{3}}{4}×4$=$\sqrt{3}$．
∴△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差化积与积化和差、三角形内角和定理、中线长定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于难题．