Question

4．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，AC=BC，AB=2A₁A=4．以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A₁D和DC₁．
（Ⅰ）求证：A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）若二面角A₁-DC-A为45°，
①证明：平面A₁C₁D⊥平面A₁AD；
②求直线A₁A与平面A₁C₁D所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结B₁C，证明A₁D∥B₁C即可；
（Ⅱ）①取CD的中点O，连接AO，A₁O，证明∠A₁OA=45°是二面角A-DC-A₁的平面角，从而DA⊥AC，结合已知条件AA₁⊥平面ABC，所以AC⊥平面A₁AD，利用AC∥A₁C₁即得结论；②过A作AM⊥A₁D于M，结合①可得AM⊥平面A₁C₁D，从而在Rt△A₁AD中，$A{A_1}=2，AD=2\sqrt{2}$，所以$tan∠A{A_1}M═\frac{AD}{{A{A_1}}}=\sqrt{2}$．

解答 （Ⅰ）证明：连结B₁C，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中A₁B₁∥AB且A₁B₁=AB，
由平行四边形ABCD得CD∥AB且CD=AB，
∴A₁B₁∥CD且A₁B₁=CD，
∴四边形A₁B₁CD为平行四边形，A₁D∥B₁C，
∵B₁C?平面BCC₁B₁，A₁D?平面BCC₁B₁，
∴A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）①取CD的中点O，连接AO，A₁O，在平行四边形ABCD中BC=AD，
又AC=BC，所以AD=AC，O是CD中点，所以AO⊥CD，（1）
∵AA₁⊥平面ABC，AC、AD?平面ABC，∴AA₁⊥AD，AA₁⊥AC，
又AD=AC，所以A₁D=A₁C，O是CD中点，所以A₁O⊥CD，（2）
由 （1）、（2）可知∠A₁OA是二面角A-DC-A₁的平面角，即∠A₁OA=45°，
所以在Rt△A₁AO中AO=A₁A=2，平行四边形ABCD中AB=CD=4，
所以在等腰三角形ADC中$AO=\frac{1}{2}DC$，所以DA⊥AC．
∵AA₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
又A₁A⊥AC，A₁A∩DA=A，
所以AC⊥平面A₁AD，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AC∥A₁C₁，∴A₁C₁⊥平面A₁AD，
∵A₁C₁?平面A₁C₁D，∴平面A₁C₁D⊥平面AA₁D；
②过A作AM⊥A₁D于M，由于平面A₁C₁D⊥平面AA₁D，
及平面A₁C₁D∩平面A₁AD=A₁D，∴AM⊥平面A₁C₁D，
∴A₁M是AA₁在平面A₁C₁D上的射影，∠AA₁M是AA₁与平面A₁C₁D所成角，
在Rt△A₁AD中，$A{A_1}=2，AD=2\sqrt{2}$，∴$tan∠A{A_1}M═\frac{AD}{{A{A_1}}}=\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，属于中档题．